Gegenvektor Definition
Der Vektor $\vec a$ ist ein Gegenvektor bzw. inverser Vektor von Vektor $\vec b$, wenn beide gleich lang und zueinander parallel sind, aber entgegengerichtet.
Dazu dreht man den Ausgangsvektor um 180 Grad bzw. multipliziert mit -1.
Ebenso ist dann $\vec b$ ein Gegenvektor zu $\vec a$.
Der Gegenvektor zu einem gegebenen Vektor $\vec a$ wird üblicherweise mit $-\vec a$ bezeichnet.
Beispiel
Beispiel Gegenvektor
Ein Vektor sei:
$$\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$
Der Gegenvektor ist dann:
$$-\vec a = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}$$
Fazit
- Der Gegenvektor (inverser Vektor) −a hat dieselbe Länge wie a, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung.
- Er entsteht durch Multiplikation mit −1: −a = (−a1, −a2, …).
- Die Summe eines Vektors und seines Gegenvektors ergibt den Nullvektor: a + (−a) = 0.
Selbsttest: Gegenvektor
Aufgabe: Gegenvektor bestimmen
Gegeben sei der Vektor:
$$\vec{a} = \begin{pmatrix}-4\\2\\3\end{pmatrix}$$
a) Bestimmen Sie den Gegenvektor −a.
b) Verifizieren Sie: a + (−a) = 0.
a) Gegenvektor:
$$-\vec{a} = (-1) \cdot \begin{pmatrix}-4\\2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-2\\-3\end{pmatrix}$$
b) Verifikation:
$$\vec{a} + (-\vec{a}) = \begin{pmatrix}-4\\2\\3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4\\-2\\-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4+4\\2+(-2)\\3+(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} = \vec{0} \quad \checkmark$$