Definition
Eine abschnittsweise definierte Funktion hat unterschiedliche Berechnungsschemata für unterschiedliche Intervalle von Zahlen.
Beispiel
Beispiel: Abschnittsweise definierte Funktion
Ein Unternehmen bietet Werbekugelschreiber an: bis einschließlich 100 Stück je Bestellung kostet ein Kugelschreiber 2 € je Stück, bei Bestellungen über 100 Stück gibt es 25 % Rabatt (auf alle Kugelschreiber), d.h. ein Kugelschreiber kostet noch 1,50 €.
Dann ist der Netto-Rechnungsbetrag f(x) in Abhängigkeit von der Bestellmenge x:
$$f(x) =
\begin{cases}
2 \cdot x, & \text{für $x \le 100$ } \\
1,50 \cdot x, & \text{für $x \gt 100$ }
\end{cases}$$
Fazit
- Eine abschnittsweise definierte Funktion weist je Intervall eine eigene Rechenvorschrift auf – z. B. f(x) = f1(x) für x ∈ I1, f2(x) für x ∈ I2 usw.
- Die Intervalle überdecken gemeinsam den gesamten Definitionsbereich; an den Grenzen kann die Funktion stetig oder unstetig sein
- Typische Anwendungen: Mengenrabatte, Versandkosten-Staffeln, Steuertarife – überall dort, wo sich die Berechnungsregel ab einem Schwellenwert ändert
- Auswertung: zunächst prüfen, in welches Intervall x fällt, dann die zugehörige Teilformel einsetzen
Selbsttest: Abschnittsweise definierte Funktion
Aufgabe: Abschnittsweise definierte Funktion
Ein Fahrdienstleister berechnet den Gesamtfahrpreis f(x) in € je nach Streckenlänge x in km: Bei x ≤ 5 gilt f(x) = 1,20 · x + 3; bei x > 5 gilt f(x) = 0,80 · x + 5.
Berechnen Sie f(3) und f(8).
Intervall bestimmen:
f(3): da 3 ≤ 5, gilt die erste Formel: f(3) = 1,20 · 3 + 3 = 3,60 + 3 = 6,60 €
f(8): da 8 > 5, gilt die zweite Formel: f(8) = 0,80 · 8 + 5 = 6,40 + 5 = 11,40 €