Definition
Die Kurtosis bzw. Wölbung einer (Häufigkeits-)Verteilung ist – neben der Schiefe – ein Maßstab, um die Abweichung der Verteilung von einer Normalverteilung zu beschreiben.
Eine positive / leptokurtische Kurtosis liegt vor, wenn die Verteilung im Vergleich zur Normalverteilung spitzer ist (die Messwerte liegen enger um den Mittelwert) und starke Ausläuferbereiche hat (sehr hohe und sehr niedrige Werte).
Eine negative / platykurtische Kurtosis hingegen liegt vor, wenn die Verteilung flacher ist (die Messwerte verteilen sich mehr um den Mittelwert) und weniger stark ausgeprägte Ausläuferbereiche hat.
Formel
Die Exzess-Kurtosis (auch: Wölbungsmaß, γ2) ist definiert als:
$\gamma_2 = \dfrac{\mu_4}{\sigma^4} - 3$
mit dem vierten zentralen Moment
$\mu_4 = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^4$
Die −3 normiert die Formel so, dass eine Normalverteilung den Wert γ2 = 0 erhält:
- $\gamma_2 > 0$: leptokurtisch — spitzer Gipfel, ausgeprägtere Ausläufer
- $\gamma_2 = 0$: mesokurtisch — entspricht der Normalverteilung
- $\gamma_2 < 0$: platykurtisch — flacherer, breiterer Gipfel
Gegenüberstellung der Kurvenformen
Drei Verteilungen mit gleichem Mittelwert, aber unterschiedlicher Wölbung:
Beispiel
Beispiel 1: leptokurtisch
Gegeben: 4, 4, 4, 4, 4, 4, 1, 7 (n = 8, $\bar{x}$ = 4)
| xi | xi − $\bar{x}$ | (xi − $\bar{x}$)2 | (xi − $\bar{x}$)4 |
|---|---|---|---|
| 4 (×6) | 0 | 0 | 0 |
| 1 | −3 | 9 | 81 |
| 7 | +3 | 9 | 81 |
| Σ | 18 | 162 |
$\sigma^2 = \dfrac{18}{8} = \dfrac{9}{4}$ $\sigma^4 = \dfrac{81}{16}$ $\mu_4 = \dfrac{162}{8} = \dfrac{81}{4}$
$\gamma_2 = \dfrac{81/4}{81/16} - 3 = 4 - 3 = \mathbf{1}$ → leptokurtisch
Beispiel 2: platykurtisch
Gegeben: 1, 2, 3, 5, 6, 7 (n = 6, $\bar{x}$ = 4)
Abweichungen: −3, −2, −1, 1, 2, 3 → $\sigma^2 = \tfrac{14}{3}$, $\sigma^4 = \tfrac{196}{9}$, $\mu_4 = \tfrac{98}{3}$
$\gamma_2 = \dfrac{98/3}{196/9} - 3 = 1{,}5 - 3 = \mathbf{-1{,}5}$ → platykurtisch
Fazit
- Die Kurtosis (Wölbung) beschreibt die Gipfelform einer Häufigkeitsverteilung im Vergleich zur Normalverteilung — ergänzt die Schiefe bei der Charakterisierung von Verteilungen.
- Positiv/leptokurtisch: Verteilung spitzer als Normalverteilung; Messwerte enger um den Mittelwert; stärker ausgeprägte Ausläuferbereiche (Extremwerte).
- Negativ/platykurtisch: Verteilung flacher als Normalverteilung; Messwerte weiter gestreut; weniger extreme Ausläufer.
Selbsttest: Kurtosis
Aufgabe: Kurtosis berechnen
Gegeben ist Datensatz B: 1, 2, 3, 5, 6, 7 (n = 6, $\bar{x}$ = 4).
a) Berechnen Sie die Varianz $\sigma^2$ und $\sigma^4$.
b) Berechnen Sie das vierte zentrale Moment $\mu_4$.
c) Berechnen Sie $\gamma_2$ und klassifizieren Sie die Verteilung.
a) Varianz und σ4:
Abweichungen: −3, −2, −1, 1, 2, 3
(xi − $\bar{x}$)2: 9, 4, 1, 1, 4, 9 → Σ = 28
$\sigma^2 = \dfrac{28}{6} = \dfrac{14}{3} \approx 4{,}67$ → $\sigma^4 = \left(\dfrac{14}{3}\right)^2 = \dfrac{196}{9} \approx 21{,}78$
b) Viertes zentrales Moment μ4:
(xi − $\bar{x}$)4: 81, 16, 1, 1, 16, 81 → Σ = 196
$\mu_4 = \dfrac{196}{6} = \dfrac{98}{3} \approx 32{,}67$
c) Exzess-Kurtosis:
$\gamma_2 = \dfrac{98/3}{196/9} - 3 = \dfrac{98}{3} \cdot \dfrac{9}{196} - 3 = \dfrac{3}{2} - 3 = \mathbf{-1{,}5}$
→ $\gamma_2 = -1{,}5 0$: platykurtisch — flacher als die Normalverteilung.