Definition
Das Arrow-Pratt-Maß ist ein Maß für die Risikoeinstellung eines Entscheiders, etwa eines Investors.
Dazu benötigt man die Nutzenfunktion u(x) des Investors (mit u für utility function = Nutzenfunktion; x ist eine bestimmte Stelle, an der gemessen werden soll).
Formel / Berechnung
Das Arrow-Pratt-Maß r(x) mit r für risk bzw. Risiko berechnet sich so:
r(x) = -(u’’(x) / u'(x))
In Worten:
Die zweite Ableitung der Nutzenfunktion an der Stelle x wird geteilt durch die erste Ableitung der Nutzenfunktion an der Stelle x und der Quotient wird mit -1 multipliziert.
Interpretation
Ist das Arrow-Pratt-Maß an der Stelle x
- = 0, ist der Entscheider risikoneutral;
- > 0, ist der Entscheider risikoavers, scheut also das Risiko;
- 0, ist der Entscheider risikofreudig.
Beispiel
Die Nutzenfunktion eines Investors sei u(x) = x3 und das Arrow-Pratt-Maß soll an der Stelle x = 2 berechnet werden.
Die Nutzenfunktion bedeutet beispielsweise, dass der Investor einen Ertrag von 1 mit 13 = 1 bewertet, einen Ertrag von 2 mit 23 = 8 und einen Ertrag von 3 mit 33 = 27.
Höhere Erträge werden also sehr wertgeschätzt (der Abstand von 2 auf 3 beim Ertrag ist zum Beispiel nur 50 % mehr, der Abstand von 8 auf 27 beim Nutzen ist viel größer).
Arrow-Pratt-Maß berechnen
Die 1. Ableitung der Nutzenfunktion ist 3x2 und die 2. Ableitung ist 6x.
Das Arrow-Pratt-Maß ist:
r(x) = -(u’’(x) / u'(x)) = -(6x / 3x2) = -(2 / x)
An der Stelle x = 2:
r(2) = -(2 / 2) = -1
Interpretation
Das Risikomaß ist mit -1 0, der Investor ist an der Stelle risikofreudig.
An der Stelle x = 3 beispielsweise wäre das Arrow-Pratt-Maß r(3) = -(2 / 3) = -2/3; immer noch negativ und damit risikofreudig, aber schon weniger.
Absolute Risikoaversion
Die obige Berechnung bezeichnet man auch als absolute Risikoaversion; um das deutlich zu machen, könnten wir rA(x) schreiben.
Relative Risikoaversion
Multipliziert man diese absolute Risikoaversion mit x, erhält man die relative Risikoaversion, zur Unterscheidung als rR(x) bezeichnet.
rR(x) = -(u’’(x) / u’(x)) × x = -(2 / x) × x = -2.
Während sich die absolute Risikoaversion bei der Beispiel-Nutzenfunktion je nach x ändert, bleibt die relative Risikoaversion hier mit -2 konstant.
Risikotoleranz
Bildet man den Kehrwert der absoluten Risikoaversion, erhält man die Risikotoleranz;:
rT(x) = 1/ -(u’’(x) / u’(x)) = 1 / -(2 / x) = -x / 2.
An der Stelle x = 2:
rT(2) = -2 / 2 = -1.
Aufgabe: Arrow-Pratt-Maß
Gegeben sei die Nutzenfunktion u(x) = √x.
a) Leiten Sie das Arrow-Pratt-Maß r(x) her.
b) Berechnen Sie r(4) und interpretieren Sie das Ergebnis.
a) Arrow-Pratt-Maß herleiten:
Formel: r(x) = −(u''(x) / u'(x))
Erste Ableitung: u'(x) = 0,5 · x−0,5 = 1 / (2√x)
Zweite Ableitung: u''(x) = −0,25 · x−1,5 = −1 / (4x1,5)
Einsetzen:
r(x) = −(−1/(4x1,5)) / (1/(2√x)) = (1/(4x1,5)) · 2√x = 2√x / (4x1,5) = 1/(2x)
b) Berechnung und Interpretation:
r(4) = 1 / (2 · 4) = 1/8 = 0,125
Da r(4) > 0, ist der Entscheider an dieser Stelle risikoavers.