Definition
Obere Schranke und Supremum
Eine Funktion ist nach oben beschränkt, wenn es einen Wert gibt (sogenannte obere Schranke), der für alle Funktionswerte f(x) für alle x aus dem Definitionsbereich der Funktion nicht überschritten wird.
Das können durchaus viele Werte sein.
Beispiel
Die Funktion f(x) = - x2 ist eine nach unten geöffnete Parabel, der höchste Wert, den die Funktion annehmen kann, ist 0. Dann ist zum Beispiel 0 eine obere Schranke, ebenso 3 oder 79.
Die niedrigste obere Schranke wird als Supremum bezeichnet (im Gegensatz zum Maximum muss das Supremum nicht Teil der Wertemenge sein).
Beispiel
Für die Funktion f(x) = - x2 wäre die 0 die niedrigste obere Schranke (das Supremum), sie ist hier Teil der Wertemenge: f(0) = - 02 = 0.
Untere Schranke und Infimum
Eine Funktion ist nach unten beschränkt, wenn es einen Wert gibt (untere Schranke), der für alle Funktionswerte f(x) nicht unterschritten wird. Die höchste untere Schranke wird als Infimum bezeichnet (im Gegensatz zum Minimum muss das Infimum nicht Teil der Wertemenge sein).
Beispiel
Die Funktion f(x) = x2 ist eine nach oben geöffnete Parabel, der niedrigste Wert, den die Funktion annehmen kann, ist 0. Dann ist zum Beispiel 0 eine untere Schranke (und das Infimum), ebenso sind -7 oder -44 untere Schranken.
Obere und untere Schranke
Eine Funktion kann auch eine obere und eine untere Schranke haben, zum Beispiel die wellenartige Sinusfunktion, deren Wellenberge an eine obere Schranke und deren Wellentäler an eine untere Schranke stoßen.
Keine Beschränkung
Eine Funktion wie beispielsweise f(x) = x3 hat keine Beschränkung nach oben oder nach unten.
Sie schlängelt sich aus dem negativen Bereich für negative x-Werte über den Nullpunkt in den positiven Bereich für positive x-Werte, Schranken gibt es nicht.
Alternative Begriffe: Beschränkte Funktion.
Fazit
- Nach oben beschränkt: kein Funktionswert überschreitet eine obere Schranke; das Supremum ist die kleinste obere Schranke
- Nach unten beschränkt: kein Funktionswert unterschreitet eine untere Schranke; das Infimum ist die größte untere Schranke
- f(x) = −x2: nach oben beschränkt (Supremum = 0); f(x) = x2: nach unten beschränkt (Infimum = 0)
- f(x) = x3 ist weder nach oben noch nach unten beschränkt; sin(x) besitzt Supremum +1 und Infimum −1
Selbsttest: Beschränktheit
Aufgabe: Beschränktheit bestimmen
Gegeben sei f(x) = −(x − 2)2 + 5. Prüfen Sie, ob die Funktion nach oben und/oder nach unten beschränkt ist, und geben Sie Supremum bzw. Infimum an (soweit vorhanden).
f(x) = −(x − 2)2 + 5 ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt S(2 | 5).
Nach oben beschränkt: Ja. (x − 2)2 ≥ 0, daher −(x − 2)2 ≤ 0, also f(x) ≤ 5 für alle x.
Supremum = 5; es wird bei x = 2 tatsächlich angenommen: f(2) = −0 + 5 = 5 ✓ (Supremum = Maximum)
Nach unten beschränkt: Nein. Für x → ±∞ gilt f(x) = −(x−2)2 + 5 → −∞; es gibt keine untere Schranke.