Definition
Die Gaußklammer bzw. Gaußklammerfunktion bestimmt für reelle Zahlen die nächstkleinere ganze Zahl (von der Ausgangszahl aus betrachtet jeweils links auf dem Zahlenstrahl).
Ist die reelle Zahl bereits eine ganze Zahl (zum Beispiel 3 oder -5), bleibt sie als Ergebnis der Gaußklammerfunktion einfach bestehen.
Als Symbole für die Gaußklammer werden [x] – also eckige Klammern – oder ⌊x⌋ verwendet.
Untere und obere Gaußklammer
Der nach dem Mathematiker Gauß bezeichnete Begriff Gaußklammer wurde ursprünglich nur für diese spezielle Abrundungsfunktion verwendet.
Inzwischen wird aber mitunter auch eine entsprechende Aufrundungsfunktion ebenfalls als Gaußklammer bezeichnet, wobei diese dann als obere Gaußklammer und die ursprüngliche (Abrundung) als untere Gaußklammer bezeichnet wird.
Für die obere Gaußklammer wird die nächstgrößere ganze Zahl bestimmt (von der Ausgangszahl aus betrachtet jeweils rechts auf dem Zahlenstrahl). Das Symbol dazu ist dann ⌈x⌉.
Weitere Bezeichnungen und Schreibweisen sind:
- floor (x) für die untere Gaußklammer (Floor-Funktion mit „floor“ für „Boden“) und
- ceil (x) für die obere Gaußklammer (Ceil-Funktion mit „ceil“ als Abkürzung für „ceiling“ = „Decke“).
Beispiele
Für die Zahl 3,7 ist der (Funktions-)Wert der Gaußklammer(funktion) [3,7] = 3.
3 ist die nächstkleinere ganze Zahl zu 3,7.
Wir verwenden hier einfach die eckigen Klammern [3,7] ; um deutlich zu machen, dass die untere Gaußklammerfunktion gemeint ist, könnten wir auch ⌊3,7⌋ verwenden.
Für die Zahl 3,0 ist der (Funktions-)Wert der Gaußklammer(funktion) [3,0] = 3.
Für die Zahl -2,2 ist der Wert der Gaußklammer [-2,2] = -3.
-3 ist die nächstkleinere ganze Zahl zu -2,2.
Die Gaußklammer rundet also nicht so ab, wie man es im Alltag gewohnt ist (teilt man zum Beispiel 1 € durch 9, erhält man 0,111111111 €; man würde hier kaufmännisch auf 0,11 € abrunden – mit der Gaußklammer hingegen auf 0 €).
Obere Gaußklammer
Für die Zahl 3,7 ist der Wert der oberen Gaußklammer ⌈3,7⌉ = 4.
Für die Zahl -2,2 ist der Wert der oberen Gaußklammer ⌈-2,2⌉ = -2.
Fazit
- Untere Gaußklammer ⌊x⌋: ergibt die nächstkleinere ganze Zahl – auf dem Zahlenstrahl die nächste Zahl links von x
- Obere Gaußklammer ⌈x⌉: ergibt die nächstgrößere ganze Zahl – auf dem Zahlenstrahl die nächste Zahl rechts von x
- Ist x bereits eine ganze Zahl, gilt ⌊x⌋ = ⌈x⌉ = x; bei negativen Nicht-Ganzzahlen weicht das Ergebnis vom Alltags-Runden ab: ⌊−2,2⌋ = −3
- Schreibweisen: [x] oder ⌊x⌋ für die untere, ⌈x⌉ für die obere Gaußklammer
Selbsttest: Gaußklammer
Aufgabe: Gaußklammer berechnen
Bestimmen Sie die untere und obere Gaußklammer für x = −1,6 und x = 4,0.
x = −1,6:
⌊−1,6⌋ = −2 (nächste ganze Zahl links von −1,6 auf dem Zahlenstrahl)
⌈−1,6⌉ = −1 (nächste ganze Zahl rechts von −1,6 auf dem Zahlenstrahl)
x = 4,0:
⌊4,0⌋ = 4 (bereits ganze Zahl – Wert bleibt bestehen)
⌈4,0⌉ = 4 (bereits ganze Zahl – Wert bleibt bestehen)